Akustische Grundlagen der Musik
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–1 Schwingungen –2 Frequenz und Tonhöhe –3 Schwebungen –4 Differenztöne –5 Teiltöne –6 Teiltöne und Klangfarbe –7 Teiltöne und Resonanz –9 Zusammenklänge und Teiltöne –10 Zusammenklänge und Differenztöne –11 Rein ergibt unrein –12 Temperieren –13 Die Temperierte Stimmung –14 Das Cent



11 Rein ergibt unrein

Man kann neue Töne durch Schichtung der reinen Intervalle erhalten, z.B. indem man vier Quinten übereinanderlegt; dann erreicht man ausgehend vom g das h''. Derselbe Ton ergibt sich jedoch auch aus der Obertonreihe des g, denn dort ist das h'' der fünfte Teilton. Nun läßt sich allerdings leicht errechnen, daß vier Quinten nicht 5:1 ergeben, sondern etwas mehr, nämlich 81:16 = 5,0625:1.

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[Notenbsp. 8] Vier reine Quinten ergeben keine reine Oktavdezime

Die vier Quinten ergeben ein Intervall, das um ein 16tel größer ist als der fünfte Teilton. Diese Differenz ist zu klein, um einen neuen verwertbaren Ton zu ergeben, aber groß genug, um als deutliche Verstimmung hörbar zu werden.

Es scheint so, als wollten die reinen Intervalle nicht recht zusammenpassen, und zwar unabhängig davon, welche man kombiniert:

drei große Terzen, 5/4 · 5/4 · 5/4, ergeben nicht 2/1, also keine Oktave,
vier kleine Terzen, 6/5 · 6/5 · 6/5 · 6/5, ebenfalls keine Oktave,
und drei Quinten (g-d'-a'-e'') keine oktavierte Sexte (g-e'').

Dergleichen haben schon die alten Griechen erkannt, deswegen haben einige dieser Differenzen griechische Namen: Den Unterschied zwischen drei großen Terzen und der Oktave nennt man kleine Diesis, den Unterschied zwischen vier kleinen Terzen und der Oktave große Diesis, und der Unterschied zwischen vier Quinten (z.B. g-d-a-e-h) und der großen Terz (g-h) heißt syntonisches oder didymisches Komma. Keinen Namen gibt es für die Differenz zwischen drei Quinten und einer großen Sexte (g-d-a-e), drei kleinen Terzen und einer großen Sexte (c-es-fis-a), zwei großen Terzen und einer kleinen Sexte (c-e-gis).

Für unser Tonsystem bedeuten diese Diskrepanzen, daß immer nur eine begrenzte Anzahl von reinen Intervallen kombinierbar sind. Man könnte z.B. eine Tonleiter aus reinen Dur-Dreiklängen aufbauen:

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[Notenbsp. 9]

Man erhält so alle sieben Töne einer diatonischen Skala und müßte sie nur noch in dieselbe Oktave transponieren. Man kann anhand der natürlichen Frequenzverhältnisse aber leicht errechnen, daß das erste f und das letzte d' eine erheblich unreine Sexte ergeben, so daß zwar die Dur-Dreiklänge dieser Skala sehr gut zu gebrauchen sind, aber der Moll-Dreiklang d-f-a nicht. Allgemein gilt deswegen:
Gleichgültig aus welchen reinen Intervallen sich eine Skala zusammensetzt, sie wird immer einige unreine Intervalle enthalten.

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