Akustische Grundlagen der Musik
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–1 Schwingungen –2 Frequenz und Tonhöhe –3 Schwebungen –4 Differenztöne –5 Teiltöne –6 Teiltöne und Klangfarbe –7 Teiltöne und Resonanz –9 Zusammenklänge und Teiltöne –10 Zusammenklänge und Differenztöne –11 Rein ergibt unrein –12 Temperieren –13 Die Temperierte Stimmung –14 Das Cent



13 Die Temperierte Stimmung

Zwölf Quinten ergeben sieben Oktaven. Da das Quintverhältnis 3:2 und das Oktavverhältnis 2:1 beträgt, müßte also gelten: (3/2)12 = (2/1)7.
Diese Gleichung ist falsch, zwölf Quinten ergeben mehr als sieben Oktaven, und diese Differenz hat ebenfalls einen Namen: das pythagoräische Komma, es beträgt ca. einen Achtelton.

Wenn zwölf Quinten nicht in sieben Oktaven passen wollen, so muß man entweder die Quinten oder die Oktaven angleichen. Da die Oktaven aber für Verstimmungen sehr empfindlich sind, beläßt man sie besser rein und verengt die Quinten, indem man das pythagoräische Komma gleichmäßig auf alle zwölf verteilt.

Genau das macht die Temperierte Stimmung, d.h. sie staucht die Quinten so, daß sich der Quintenzirkel schließt, oder, was im Grunde dasselbe ist, teilt die Oktave in zwölf gleich große Halbtonschritte ein, indem sie eine zu kurze Decke, bei der entweder der Kopf oder die Füße frieren, so streckt, daß beide nur ein bißchen frieren. Dabei werden außer der Oktave alle Intervalle unrein, aber in unterschiedlichem Maße, weil z.B. vier kleine Terzen, die eine Oktave ergeben sollen, mehr gestreckt (bzw. gestaucht) werden müssen als zwölf Quinten, die sieben Oktaven ergeben sollen. Es ergibt sich folgendes (1 Cent = 1/100 Halbtonschritt):

Oktave = rein
Quinte = zu eng (- 1,95 Cent)
gr. Terz = zu weit (+ 13,68 Cent)
kl. Terz = zu eng (- 15,64 Cent)

Die restlichen Intervalle ergeben sich aus der eigentlich trivialen Regel, daß die Umkehrung eines zu weiten Intervalls zu eng wird und umgekehrt, d.h. wenn die Quinte um 1,95 Cent zu eng ist, ist die Quarte um 1,95 Cent zu weit.

Einfacher ist übrigens, sich die Abweichung der temperierten von den reinen Intervallen anhand des Dur-Dreiklangs zu merken, in dem die Quinte, in C-dur also das g, zu tief und die Durterz, das e, zu hoch ist; alles andere kann man dann aus den Dreiklangsumkehrungen ableiten: Wenn das e zu hoch ist, muß die Sexte g-e' zu weit sein, die Sexte e-c' zu eng.

In der Praxis erreicht man die genaue Temperierung, indem man die Quinten so einstimmt, daß ihr erster gemeinsamer Teilton eine bestimmte Schwebungsfrequenz hat, deswegen und weil alle um dasselbe Maß verengt werden, spricht man auch von der gleichschwebenden Temperierung. Das ist allerdings eigentlich der falsche Ausdruck, denn die Schwebungen sind nicht vom relativen Tonhöhenunterschied abhängig, sondern von der absoluten Frequenzdifferenz; sie sind deswegen nicht gleichmäßig, sondern nehmen bei den höheren Tönen zu, indem sie sich einmal pro Oktave verdoppeln. Korrekter ist deswegen, von der gleichstufigen Temperierung zu sprechen.

Weiter oben hatten wir festgestellt, daß verschiedene Intervalle verschieden empfindlich für Verstimmungen sind. In der temperierten Stimmung ergibt sich automatisch, daß die empfindlicheren am wenigsten verstimmt werden: Eine Verstimmung von 13,68 Cent wird bei der Terz vom Ohr noch akzeptiert (obwohl sie hörbar ist), bei der Quinte wäre sie unerträglich.

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